Получится ли у срочника уволиться в запас по семейным обстоятельствам?

Статья 51. Основания увольнения с военной службы
4. Военнослужащий, не имеющий воинского звания офицера и проходящий военную службу по призыву, имеет право на досрочное увольнение с военной службы при наличии у него обстоятельств, предусмотренных подпунктом «б» пункта 2 статьи 23 и подпунктами «б», «б.1», «в», «г» и «д» пункта 1 статьи 24 настоящего Федерального закона.
Статья 24. Отсрочка от призыва граждан на военную службу
1. Отсрочка от призыва на военную службу предоставляется гражданам:
б) занятым постоянным уходом за отцом, матерью, женой, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, если отсутствуют другие лица, обязанные по закону содержать указанных граждан, а также при условии, что последние не находятся на полном государственном обеспечении и нуждаются по состоянию здоровья в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по месту жительства граждан, призываемых на военную службу, в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре);
Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 05.10.2015) «О воинской обязанности и военной службе»

У вашей матери другие близкие родственники имеются?

Справки из больницы не имеют силы в вашем случае. Нужно заключение федерального учреждения медико-социальной экспертизы по месту вашего жительства о том, что ваша мать нуждается в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре).