Можем ли мы выбрать председателем ТСЖ неработающего пенсионера, не являющегося собственником жилья в нашем доме?

Елена, согласно пп. 1, 2 ст. 147 Жилищного кодекса РФ «Правление товарищества собственников жилья», руководство деятельностью ТСЖ осуществляется правлением товарищества. Правление ТСЖ вправе принимать решения по всем вопросам деятельности товарищества, за исключением вопросов, отнесённых к исключительной компетенции общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме и компетенции общего собрания членов ТСЖ.

Правление ТСЖ избирается из числа членов товарищества общим собранием на срок, установленный Уставом товарищества, но не более чем на два года. Правление избирает из своего состава председателя товарищества, если это не отнесено к компетенции общего собрания членов товарищества Уставом.
Это означает, что вы не имеете права принять на должность председателя человека, если он не является членом вашего ТСЖ.
Однако к работе в ТСЖ может быть привлечён управляющий. Его нанимают по трудовому договору (или гражданско-правовому об оказании услуг). В случае заключения трудового договора должность управляющего с соответствующим окладом должна быть внесена в штатное расписание ТСЖ и утверждена на общем собрании согласно пп. 10 п. 2 ст. 145 ЖК РФ. Таким образом, вопрос о привлечении управляющего при заключении с ним трудового договора решает общее собрание членов ТСЖ. При этом полномочие по найму работников для обслуживания многоквартирного дома и их увольнению в соответствии с п. 5 ст. 148 ЖК РФ относится к обязанностям правления ТСЖ. Следовательно,трудовой договор с управляющим должны подписать все члены правления.
Для того чтобы управляющий мог представлять интересы ТСЖ в отношениях с третьими лицами, необходима доверенность, которая выдаётся ему председателем.
Таким образом, в любом случае председатель ТСЖ должен быть.