Должна ли я сама в другое государство отправлять исполнительный лист?

Здравствуйте, Алена!

По сути пристав вам предлагает правильно, так как направить исполнительный лист можете ВЫ

В соответствии с Конвенцией 1993 г. договаривающиеся стороны признают и исполняют вступившие в законную силу решения судов по гражданским
делам и приговоры в части взыскания гражданского иска с лиц, проживающих или находящихся на территории иностранных государств.
Для признания и приведения в исполнение на территории государств – членов СНГ и стран Балтии решений российских судов в соответствии с Конвенцией 1993 г. необходимо направить на имя компетентных судов указанных стран соответствующие ходатайства (ходатайство взыскателя и ходатайство судьи о взыскании госпошлины в доход государства.

Ходатайство о разрешении исполнения решения российского суда на территории иностранного государства подается взыскателем в суд, который вынес данное решение по делу в первой инстанции. В ходатайстве должно быть указано: наименование компетентного органа иностранного государства; фамилия, имя, отчество взыскателя и его место жительства, фамилия, имя, отчество должника и его место жительства; просьба взыскателя о разрешении принудительного исполнения решения суда; расчетный счет, на который необходимо перечислить
взыскиваемые суммы; кроме того, в ходатайстве могут быть указаны и иные
сведения, в том числе номера телефонов, факсов, адреса электронной почты, если они необходимы для правильного и своевременного рассмотрения дела.

Ходатайство должно быть подписано взыскателем, то есть Вами. Подпись взыскателя
на ходатайстве заверяется подписью судьи и скрепляется гербовой печатью суда. Ходатайство судьи также должно быть подписано судьей и скреплено гербовой печатью суда.

К ходатайствам необходимо приложить:

– решение суда или его заверенную копию о взыскании алиментов;

– официальный документ (справку) о том, что решение (приговор) суда вступило в законную силу и подлежит исполнению;

– документ (справку), из которого следует, что сторона, против которой было вынесено решение, не принявшая участие в процессе, была в надлежащем порядке
и своевременно вызвана в суд, а в случае ее процессуальной недееспособности была надлежащим образом представлена. Для сокращения сроков рассмотрения ходатайства желательно приложить заверенную копию подтверждения о вручении извещения о времени и месте судебного
разбирательства;

– документ (справку) о том, что решение (приговор) суда исполнялось или не исполнялось на территории Российской Федерации. (в вашем случае документы от судебного пристава-исполнителя, постановления о расчете завдолженности, что находилось на исполнении и т.д.)

Документы, приложенные к ходатайству также необходимо заверить подписью судьи и скрепить гербовой печатью суда.

К ходатайству о признании и приведении в исполнение решения (приговора)
российского суда на территории стран Балтии, кроме того, необходимо
приложить заверенный перевод ходатайства со всеми приложениями на язык
государства, в котором предполагается исполнение судебного решения (приговора)
согласно Договора между Российской Федерацией и Латвийской Республикой
о правовой помощи и правовых отношениях по гражданским, семейным
и уголовным делам от 3 февраля 1993 г., Договора между Российской
Федерацией и Литовской Республикой о правовой помощи и правовых
отношениях по гражданским, семейным и уголовным делам от 21 июля 1992 г.
и Договора между Российской Федерацией и Эстонской Республикой
о правовой помощи и правовых отношениях по гражданским, семейным
и уголовным делам от 26 января 1993 г.

Поиск переводчика, несение расходов по оплате его услуг, а также оплата государственной пошлины (тарифа) за совершение нотариальных действий по засвидетельствованию верности перевода лежит на заинтересованном лице, то есть на Вас.