Имеет ли право офицер ФСБ, не продлить контракт в этой части, а устроиться в ФСБ в другом городе?

Добрый вечер. Да, имеет.

Правда, следует иметь ввиду, что заключение нового контракта будет возможно лишь в том случае, если он будет отвечать требованиям, предъявляемым к кандидатам поступающим на военную службу по контракту.

Статья 33 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»

1. Гражданин (иностранный гражданин), поступающий на военную службу по контракту, должен владеть государственным языком Российской Федерации, а также соответствовать медицинским и профессионально-психологическим требованиям военной службы к конкретным военно-учетным специальностям. Для определения соответствия гражданина установленным требованиям проводятся медицинское освидетельствование и мероприятия по профессиональному психологическому отбору.
5. Требования, предусмотренные пунктами 3 и 4 настоящей статьи, устанавливаются министром обороны Российской Федерации или руководителем федерального органа исполнительной власти, в котором настоящим Федеральным законом предусмотрена военная служба.

При этом не будет принято во внимание, что ранее он проходил службу в данной структуре.