Как доказать проживание лица по адресу, не являющемуся местом регистрации?

Ольга, здравствуйте.

Вам не апелляцию необходимо подавать а заявление об отмене заочного решения суда.

Показания соседей могут послужить доказательством. Так же может быть у Вас есть договор найма жилого помещения в другом городе.

ГПК РФ
Статья 237. Обжалование заочного решения суда
1. Ответчик вправе подать в суд, принявший заочное решение, заявление об отмене этого решения суда в течение семи дней со дня вручения ему копии этого решения.
2. Заочное решение суда может быть обжаловано сторонами также в апелляционном порядке в течение месяца по истечении срока подачи ответчиком заявления об отмене этого решения суда, а в случае, если такое заявление подано, — в течение месяца со дня вынесения определения суда об отказе в удовлетворении этого заявления.
Статья 238. Содержание заявления об отмене заочного решения суда
1. Заявление об отмене заочного решения суда должно содержать:
1) наименование суда, принявшего заочное решение;
2) наименование лица, подающего заявление;
3) обстоятельства, свидетельствующие об уважительности причин неявки ответчика в судебное заседание, о которых он не имел возможности своевременно сообщить суду, и доказательства, подтверждающие эти обстоятельства, а также обстоятельства и доказательства, которые могут повлиять на содержание решения суда;
4) просьбу лица, подающего заявление;
5) перечень прилагаемых к заявлению материалов.
2. Заявление об отмене заочного решения суда подписывается ответчиком или при наличии полномочия его представителем и представляется в суд с копиями, число которых соответствует числу лиц, участвующих в деле.
3. Заявление об отмене заочного решения суда не подлежит оплате государственной пошлиной.