Как вести хозяйственную деятельность ООО, если умер директор и единственный учредитель?

Добрый день, Александра.

Должны быть наследники. Кроме того:

Статья 1173 ГК РФ Доверительное управление наследственным имуществом
Если в составе наследства имеется имущество, требующее не только охраны, но и управления (предприятие, доля в уставном (складочном) капитале хозяйственного товарищества или общества, ценные бумаги, исключительные права и тому подобное), нотариус в соответствии со статьей 1026 настоящего Кодекса в качестве учредителя доверительного управления заключает договор доверительного управления этим имуществом.
В случае, когда наследование осуществляется по завещанию, в котором назначен исполнитель завещания, права учредителя доверительного управления принадлежат исполнителю завещания.