Как получить водительское удостоверение сыну в 16 лет?

Олег, согласно п. 18 Постановления Правительства РФ от 24 октября 2014 г. N 1097«О допуске к управлению транспортными средствами»:

18. Для сдачи экзамена и выдачи российского национального водительского удостоверения кандидатом в водители представляются следующие документы:
а) заявление;
б) паспорт или иной документ, удостоверяющий личность;
в) медицинское заключение;
г) российское национальное водительское удостоверение (при наличии);
д) документ, подтверждающий прохождение в установленном порядке соответствующего профессионального обучения по программам профессионального обучения водителей транспортных средств соответствующих категорий и подкатегорий;
е) письменное согласие законных представителей (родителей, усыновителей или попечителей) несовершеннолетнего кандидата в водители на сдачу им экзамена и выдачу российского национального водительского удостоверения, заверенное в соответствии с законодательством Российской Федерации, — в случае, когда заявителем является лицо в возрасте от 16 до 18 лет, за исключением случая объявления несовершеннолетнего лица полностью дееспособным (эмансипация) или вступления его в брак в порядке, установленном законодательством Российской Федерации.

То есть, если мама сына не лишена родительских прав, то, скорее всего, придется её разыскивать.

ГИБДД не желает давать письменный отказ, скорее всего, по причине того, что они не должны были допускать вашего сына даже до сдачи экзаменов без согласия обоих родителей.