Парню 20 лет и он доучивается на последнем курсе колледжа, ему не дадут доучиться?

Влад, здравствуйте.
Да, в военкомате правы. В соответствии с пп. а) п. 2 ст. 24 Федерального закона «О воинской обязанности и военной службе», право на отсрочку от призыва на военную службу имеют граждане:

образовательных организациях по имеющим государственную аккредитацию образовательным программам среднего профессионального образования, если они до поступления в указанные образовательные организации не получили среднее образование, — в период освоения указанных образовательных программ, но не свыше сроков получения среднего профессионального образования, установленных федеральными государственными образовательными стандартами, и до достижения указанными обучающимися возраста 20 лет;

Закон, отменяющий порог в 20 лет, вступает в силу только с 01.01.2017.