Можно ли привлечь водителя за наезд на собаку?

Здравствуйте! В том случае, если Вам известны установочные данные водителя или собственнника указанного транспортного средства, совершившего наезд на Вашу собаку, то с указанного лица можно взыскать стоимость лечебных процедур и последующих медицинских затрат на лечение питомца.

Статья 1064 ГК РФ. Общие основания ответственности за причинение вреда
Вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.
Законом обязанность возмещения вреда может быть возложена на лицо, не являющееся причинителем вреда.

Статья 1079 ГК РФ. Ответственность за вред, причиненный деятельностью, создающей повышенную опасность для окружающих
Граждане, деятельность которых связана с повышенной опасностью для окружающих (использование транспортных средств, механизмов, электрической энергии высокого напряжения, атомной энергии, взрывчатых веществ, сильнодействующих ядов и т.п.; осуществление строительной и иной, связанной с нею деятельности и др.), обязаны возместить вред, причиненный источником повышенной опасности, если не докажут, что вред возник вследствие непреодолимой силы или умысла потерпевшего.

Наезд был совершен на обочине, где как вы утверждали бегала собака? ГИБДД вызывали? Документы на собаку имеется? Без этого вы ничего не взыщите с водителя