Можно ли сразу после покупке квартиры подать на возврат 13 процентов?

В принципе да.

Вам надо её надлежаще оформить в собственность.

После получить подтверждение уплаты НДФЛ в налоговом периоде.

Подготовить и сдать декларацию по НДФЛ(то есть по поводу самого вычета) с иными документами.

А именно::

справку формы 2-НДФЛ (выдает работодатель по запросу)
Договор купле-продажи на жилье (договор с продавцом квартиры)
свидетельство на квартиру (документ о праве собственности)
документы по дополнительным расходам на отделку
квитанции, банковские выписки и прочие платежные документы, свидетельствующие, что расходы на покупку квартиры и дополнительную отделку фактически произведены
заявление на вычет (пишется на имя руководителя ИФНС РФ)

Удачи!