Как взыскать долг по арендной плате, если договор аренды не продлевался?

Здравстствуйте, Максим. Поскольку наниматель фактически продолжал пользоваться квартирой, договор считается возобновленным на неопределенный срок. Судебные перспективы есть.

ст. 621 ГК РФ
1. Если иное не предусмотрено законом или договором аренды, арендатор, надлежащим образом исполнявший свои обязанности, по истечении срока договора имеет при прочих равных условиях преимущественное перед другими лицами право на заключение договора аренды на новый срок. Арендатор обязан письменно уведомить арендодателя о желании заключить такой договор в срок, указанный в договоре аренды, а если в договоре такой срок не указан, в разумный срок до окончания действия договора.
При заключении договора аренды на новый срок условия договора могут быть изменены по соглашению сторон.
Если арендодатель отказал арендатору в заключении договора на новый срок, но в течение года со дня истечения срока договора с ним заключил договор аренды с другим лицом, арендатор вправе по своему выбору потребовать в суде перевода на себя прав и обязанностей по заключенному договору и возмещения убытков, причиненных отказом возобновить с ним договор аренды, либо только возмещения таких убытков.
2. Если арендатор продолжает пользоваться имуществом после истечения срока договора при отсутствии возражений со стороны арендодателя, договор считается возобновленным на тех же условиях на неопределенный срок (статья 610).

Надеюсь мой ответ был Вам полезен.