Я прописан в Армении, но родился в Подмосковье, могу ли я получить российское гражданство?

Нет , только свидетельство о рождении , и документы со школы

В таком случае Вы должны сначала получить разрешение на временное проживание. А потом уже, после получения разрешения, получить вид на жительство и гражданство.
Разрешение на временное проживание выдается в пределах установленной квоты.
Однако при наличии некоторых обстоятельств разрешение может быть выдано без учета утвержденной квоты.
Так в п. 3 ст. 6 ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» указано, что

без учета утвержденной Правительством Российской Федерации квоты разрешение на временное проживание может быть выдано иностранному гражданину:
родившемуся на территории РСФСР и состоявшему в прошлом в гражданстве СССР или родившемуся на территории Российской Федерации.Таким образом, Вы можете получить разрешение на временное проживание без учета утвержденных Правительством РФ квот.

Для этого потребуется предоставить свидетельство о рождении, выданное на территории Российской Федерации органом записи актов гражданского состояния.

Если Вы родились в РСФСР и состояли в прошлом в гражданстве СССР, то нужно предоставить свидетельство о рождении, выданное на территории РСФСР.