В соответствии со ст. 24 СК РФ суд обязан решить вопрос, с кем будут проживать несовершеннолетние дети, либо на основании соглашения родителей, либо по усмотрению суда, если соглашения родителей нет.
Кроме того, наличие или отсутствие спора о детях влияет на подсудность (если нет спора — мировой судья, если есть — районный суд).
Наличие спора о детях выражается в отсутствии соглашения о том, с кем они будут проживать.
Таким образом да, если не хотите, чтобы этот вопрос решался на усмотрение суда, надо указать, с кем по соглашению между супругами остается ребенок.
Выписать ребенка из квартиры отец не может, даже если суд определит проживание с матерью. Дело в том, что ребенок является членом семьи отца, в том числе и после развода. А члены семьи нанимателя квартиры имеют право с ним совместно проживать.