Как доказать, что вернул человеку долг?

Если расписки нет, то нужно сначала доказать, что долг был

Статья 162 ГК РФ. Последствия несоблюдения простой письменной формы сделки

1. Несоблюдение простой письменной формы сделки лишает стороны права в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий на свидетельские показания, но не лишает их права приводить письменные и другие доказательства.
2. В случаях, прямо указанных в законе или в соглашении сторон, несоблюдение простой письменной формы сделки влечет ее недействительность.

Для требования с Вас возврата денежных средств, другая сторона, т.е. подруга Вашей мамы должна подтвердить документально или предоставить иные доказательства того, что она давала в долг денежные средства Вашей маме.

Статья 161. Сделки, совершаемые в простой письменной форме

1. Должны совершаться в простой письменной форме, за исключением сделок, требующих нотариального удостоверения:
1) сделки юридических лиц между собой и с гражданами;
2) сделки граждан между собой на сумму, превышающую десять тысяч рублей, а в случаях, предусмотренных законом, — независимо от суммы сделки.

2. Соблюдение простой письменной формы не требуется для сделок, которые в соответствии со статьей 159 настоящего Кодекса могут быть совершены устно.