Как юридически оформить бесплатные кинопоказы в тематическом кафе?

Ника, здравствуйте!
В данном бизнесе у Вас могут быть серьезные проблемы с правообладателями. Дело в том, что лицензионные соглашения, под которыми распространяются фильмы на дисках или легально в интернете, не предусматривают право использовать фильм путем публичного показа.
Согласно п.п.3) п.2. ст.1270 ГК РФ,

публичный показ произведения — есть любая демонстрация оригинала или экземпляра произведения непосредственно либо на экране с помощью пленки, диапозитива, телевизионного кадра или иных технических средств, а также демонстрация отдельных кадров аудиовизуального произведения без соблюдения их последовательности непосредственно либо с помощью технических средств в месте, открытом для свободного посещения, или в месте, где присутствует значительное число лиц, не принадлежащих к обычному кругу семьи, независимо от того, воспринимается произведение в месте его демонстрации или в другом месте одновременно с демонстрацией произведения;

Таким образом, Вы допускаете нарушение лицензионного соглашения и интеллектуальных прав правообладателей.

За такие нарушения предусмотрена гражданско-правовая, административная и уголовная ответственность.

В рамках гражданско-правовой ответственности с нарушителя можно в судебном порядке взыскать компенсацию до 5 млн. рублей (ст.1301 ГК РФ).

В рамках административной ответственности граждане-нарушители могут получить штраф до 2 тыс. рублей, ИП до 20 тыс. рублей, юр. лица до 40 тыс. рублей и всё это с конфискацией контрафактных экземпляров произведений, а также оборудования, используемых для их воспроизведения (ст.7.12. КоАП РФ).

В рамках уголовной ответственности можно максимально сесть в тюрьму на 2 года; при этом правообладателю должен быть причинен ущерб как минимум в 100 тыс. рублей, что в примере с фильмами вполне реально (ч.2. ст.146 УК РФ).
Поэтому Вам обязательно нужно заключить соответствующие лицензионные договоры с правообладателями. Сколько это стоит — вопрос договорной и решается Вами индивидуально с каждым правообладателем, но я подозреваю, что это не дешево.
В качестве альтернативы можете рассмотреть показ классических фильмов, перешедших в общественное достояние. На сегодняшний день это фильмы, снятые до 1946 года. Пару лет назад Минкульт на своем сайте давал разъяснения на этот счет: mkrf.ru/ministerstvo/departament/list.php?SECTION_ID=19331