На какой максимальный срок можно продлевать следствие по делу?

Порядок продления срока следствия установлен законом. Согласно ст.162 УПК РФ:

5. По уголовному делу, расследование которого представляет особую сложность, срок предварительного следствия может быть продлен руководителем следственного органа по субъекту Российской Федерации и иным приравненным к нему руководителем следственного органа, а также их заместителями до 12 месяцев. Дальнейшее продление срока предварительного следствия может быть произведено только в исключительных случаях Председателем Следственного комитета Российской Федерации, руководителем следственного органа соответствующего федерального органа исполнительной власти (при федеральном органе исполнительной власти) и их заместителями.
(в ред. Федеральных законов от 29.05.2002 N 58-ФЗ, от 05.06.2007 N 87-ФЗ, от 03.12.2007 N 323-ФЗ, от 28.12.2010 N 404-ФЗ)

6. При возобновлении производства по приостановленному или прекращенному уголовному делу, а также при возвращении уголовного дела для производства дополнительного следствия руководитель следственного органа, в производстве которого находится уголовное дело, вправе устанавливать срок предварительного следствия в пределах одного месяца со дня поступления уголовного дела к следователю вне зависимости от того, сколько раз оно до этого возобновлялось, прекращалось либо возвращалось для производства дополнительного следствия, и вне зависимости от общей продолжительности срока предварительного следствия.

Теоретически это значит, что срок следствия может продляться до бесконечности.

Обжаловать постановление следователя вправе участники уголовного процесса: подозреваемый, потерпевший и т.п. в порядке ст.124-125 УПК РФ

Добрый вечер. Обжаловать постановление об отказе в возбуждении уголовного дела Вы можете в порядке, установленном ст. 124 УПК РФ, руководителю следственного органа или прокурору, а также в порядке, установленном ст. 125 УПК РФ, в суд.

Однако, обращаю внимание, что в соответствии с п. 3 ч. 1 ст. 24 УПК РФ уголовное дело не может быть возбуждего, а возбужденное уголовное дело должно быть прекращено, если истекли сроки давности привлечения к уголовной ответственности.