Добрый день, Юлия.
Согласно ст. 49 СК РФ, В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.
Таким образом, экспертизу ДНК делать не обязательно, достаточно привести свидетелей, показать фотографии и прочее, свидетельствующие о Вашем совместном проживании в период предполагаемого зачатия ребенка. Предполагаемый отец, скорее всего, будет сам ходатайствовать о назначении экспертизы ДНК, а равно заплатит за неё.