На каких основаниях ребенка могут оставить на повторное обучение?

Здравствуйте, Надежда.

основной является ФЗ ОБ образовании

Статья 58. Промежуточная аттестация обучающихся
1. Освоение образовательной программы (за исключением образовательной программы дошкольного образования), в том числе отдельной части или всего объема учебного предмета, курса, дисциплины (модуля) образовательной программы, сопровождается промежуточной аттестацией обучающихся, проводимой в формах, определенных учебным планом, и в порядке, установленном образовательной организацией.
2. Неудовлетворительные результаты промежуточной аттестации по одному или нескольким учебным предметам, курсам, дисциплинам (модулям) образовательной программы или непрохождение промежуточной аттестации при отсутствии уважительных причин признаются академической задолженностью.
3. Обучающиеся обязаны ликвидировать академическую задолженность.
4. Образовательные организации, родители (законные представители) несовершеннолетнего обучающегося, обеспечивающие получение обучающимся общего образования в форме семейного образования, обязаны создать условия обучающемуся для ликвидации академической задолженности и обеспечить контроль за своевременностью ее ликвидации.
5. Обучающиеся, имеющие академическую задолженность, вправе пройти промежуточную аттестацию по соответствующим учебному предмету, курсу, дисциплине (модулю) не более двух раз в сроки, определяемые организацией, осуществляющей образовательную деятельность, в пределах одного года с момента образования академической задолженности. В указанный период не включаются время болезни обучающегося, нахождение его в академическом отпуске или отпуске по беременности и родам.
6. Для проведения промежуточной аттестации во второй раз образовательной организацией создается комиссия.
7. Не допускается взимание платы с обучающихся за прохождение промежуточной аттестации.
8. Обучающиеся, не прошедшие промежуточной аттестации по уважительным причинам или имеющие академическую задолженность, переводятся в следующий класс или на следующий курс условно.
9. Обучающиеся в образовательной организации по образовательным программам начального общего, основного общего и среднего общего образования, не ликвидировавшие в установленные сроки академической задолженности с момента ее образования, по усмотрению их родителей (законных представителей) оставляются на повторное обучение, переводятся на обучение по адаптированным образовательным программам в соответствии с рекомендациями психолого-медико-педагогической комиссии либо на обучение по индивидуальному учебному плану.
10. Обучающиеся по образовательным программам начального общего, основного общего и среднего общего образования в форме семейного образования, не ликвидировавшие в установленные сроки академической задолженности, продолжают получать образование в образовательной организации.
11. Обучающиеся по основным профессиональным образовательным программам, не ликвидировавшие в установленные сроки академической задолженности, отчисляются из этой организации как не выполнившие обязанностей по добросовестному освоению образовательной программы и выполнению учебного плана.

В целом, если исходить из данного пункта, то многие моменты должна регулироваться внутренними актами школы.