Можно ли подать в суд на инспекцию ГИБДД за предъявление ложного обвинения в подделке прав?

Здравствуйте, уважаемая Екатерина!

Да, конечно вправе. Более того, даже если бы обвинение было обоснованно, но расследование прекращено за сроком давности, то такое бы право было и в данном случае.

Вместе с тем отказ от административного преследования в связи с
истечением сроков давности привлечения к административной
ответственности не может препятствовать реализации права на возмещение
вреда, причиненного незаконными действиями должностных лиц, совершенными
при производстве по делу об административном правонарушении.
Прекращение дела не является преградой для установления в других
процедурах ни виновности лица в качестве основания для его привлечения к
гражданской ответственности или его невиновности, ни незаконности
имевшего место в отношении лица административного преследования в случае
причинения ему вреда: споры о возмещении причиненного административным
преследованием имущественного ущерба и о компенсации морального вреда
или, напротив, о взыскании имущественного и морального вреда в пользу
потерпевшего от административного правонарушения разрешаются судом в
порядке гражданского судопроизводства (статья 4.7 КоАП Российской
Федерации).

— Из позиции КС РФ.

С уважением, Райнхрад.