Как получить возмещение ущерба с нанимателя?

Первый и самый важный вопрос: у вас есть доказательства того, что именно наниматель, а не иное лицо повредило обои? У вас был заключен договор найма или аренды? Квартира по акту приема передачи передавалась при подписании договора? После истечения договора аренды акт составлялся? Вы к нанимателю с претензией обращались?

Можно ли указать в исковом заявлении, то что я хочу денежное возмещение ущерба и прошу суд назначить провести экспертизу по оценке ущерба ?

В просительной части вы конечно укажите, что просите возместить ущерб, но при этом нужно указать цену ущерба. Ущерб можно оценить и самому. Это несложно.

можете. за ваш счет. и если только суд признает что вы правы вы сможете взыскать ущерб и судебные расходы с ответчика.

ЖК РФ, Статья 68. Ответственность нанимателя жилого помещения по договору социального найма

Наниматель жилого помещения по договору социального найма, не исполняющий обязанностей, предусмотренных жилищным законодательством и договором социального найма жилого помещения, несет ответственность, предусмотренную законодательством.

Наниматель и постоянно проживающие с ним граждане (ст. 677, 679 ГК). В отличие от договора социального найма, ГК не называет вселяющихся с нанимателем (к нанимателю) лиц членами его семьи. Вселяться с нанимателем либо к нанимателю и проживать вместе с ним могут любые граждане, но они должны быть указаны в договоре коммерческого найма. Независимо от того, в каких родственных (сестра, мать) или иных (супруг, иждивенец) отношениях состоит наниматель с этим лицом, его вселение требует соблюдения двух условий: согласия наймодателя и граждан, постоянно проживающих с нанимателем. Вселение возможно при условии соблюдения требований о норме общей площади, приходящейся на каждого проживающего. Исключением является вселение несовершеннолетних детей любого лица, постоянно проживающего в жилом помещении. Они вселяются независимо от согласия наймодателя, нанимателя и других лиц, постоянно проживающих с нанимателем.Граждане, постоянно проживающие совместно с нанимателем, обладают равными правами пользования жилым помещением. Вместе с тем по общему правилу ответственность этих граждан по обязательствам, вытекающим из договора коммерческого найма, не является солидарной: ответственность за их действия, связанные с нарушением условий договора коммерческого найма, несет сам наниматель. Это не исключает возможности заключить соглашение с нанимателем, по которому граждане, постоянно с ним проживающие, обязуются нести солидарную ответственность перед наймодателем; последний должен быть уведомлен о состоявшемся соглашении.

Попросить суд сделать оценку за счет ответчика не можете, т.к. иск о возмещении ущерба предъявляется вами и вы должны доказать размер ущерба