Как собственнику выписаться из квартиры и прописать в нее родственника?

Согласие на прописку дает собственник жилья, в данном случае Вы.

Закон РФ от 25.06.1993 N 5242-1 (ред. от 03.04.2017) «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации» гласит:

Регистрация гражданина Российской Федерации по месту пребывания производится в срок, не превышающий 90 дней со дня прибытия гражданина в жилое помещение. Регистрация по месту пребывания производится без снятия гражданина с регистрационного учета по месту жительства.
(в ред. Федерального закона от 31.12.2014 N 525-ФЗ)

Гражданин Российской Федерации вправе не регистрироваться по месту пребывания в жилом помещении, если жилое помещение, в котором он зарегистрирован по месту жительства, находится в том же или ином населенном пункте того же субъекта Российской Федерации.
Гражданин Российской Федерации вправе не регистрироваться по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области, если он зарегистрирован по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области.
Гражданин Российской Федерации вправе не регистрироваться по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Санкт-Петербурге или в одном из населенных пунктов Ленинградской области, если он зарегистрирован по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Санкт-Петербурге или в одном из населенных пунктов Ленинградской области.
Гражданин Российской Федерации вправе не регистрироваться по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Севастополе или в одном из населенных пунктов Республики Крым, если он зарегистрирован по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Севастополе или в одном из населенных пунктов Республики Крым.

Согласно Постановления Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 23.12.2016) «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета.» пункт 9. Граждане, прибывшие для временного проживания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, на срок более чем 90 дней, обязаны до истечения указанного срока обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, и представить:
(в ред. Постановления Правительства РФ от 15.08.2014 N 809)

документ, удостоверяющий личность;
заявление установленной формы о регистрации по месту пребывания;
документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина в указанном жилом помещении (договоры найма (поднайма), социального найма жилого помещения, свидетельство о государственной регистрации права на жилое помещение или заявление лица, предоставляющего гражданину жилое помещение).
(в ред. Постановлений Правительства РФ от 14.02.1997 N 172, от 14.08.2002 N 599, от 26.10.2011 N 869)

В случае регистрации по месту пребывания на основании договора социального найма жилого помещения, заключенного в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации, или свидетельства о государственной регистрации права на жилое помещение гражданин вправе не предъявлять эти документы, а только указать в заявлении о регистрации по месту пребывания их реквизиты.
(абзац введен Постановлением Правительства РФ от 26.10.2011 N 869)

В таком случае орган регистрационного учета самостоятельно запрашивает в государственных органах, органах местного самоуправления информацию о документах, указанных в абзаце пятом настоящего пункта, и производит регистрацию гражданина по месту пребывания не позднее 8 рабочих дней со дня подачи им заявления о регистрации по месту пребывания и документа, удостоверяющего личность в соответствии с законодательством Российской Федерации.
(абзац введен Постановлением Правительства РФ от 26.10.2011 N 869)

В случае отсутствия жилищно-эксплуатационных организаций при заселении жилых помещений, принадлежащих на праве собственности гражданам или юридическим лицам, указанные документы представляются этим гражданам или представителю юридического лица, на которого возложены обязанности по контролю за использованием жилых помещений.
Граждане вправе уведомить орган регистрационного учета о сроке и месте своего пребывания по почте или в электронной форме с использованием информационно-телекоммуникационных сетей общего доступа, в том числе сети Интернет, включая федеральную государственную информационную систему «Единый портал государственных и муниципальных услуг (функций)» (далее — Единый портал).

1. Поскольку Вы единственный собственник для прописки Вашего отца достаточно только Вашего заявления в соответствии с ст 30 Жилищного кодекса РФ.

2. Поскольку квартира в Вашей собственности и пока не имеется возможности прописаться по новому месту жительства не торопитесь выписываться, собственность (квартиру) вы не потеряете а вот проблемы с нарушением миграционного законодательства могут возникнуть, что может повлечь административную ответственность.в соответствии с ст. 19. 15.1 КОАП РФ.

Если квартира приобретена в браке, она является общей собственностью супругов, независимо от того, что документально она оформлена только на одного из них.

Поэтому согласие мужа на регистрацию места жительства отца Вам получить надо.

Для Вашей регистрации жительства на новом месте дается 3 месяца

Если квартира была приобретена в период брака, то требуется согласие и супруга (поскольку это совместная собственность). На практике думаю, что не будут это исследовать и достаточно будет вашего согласия.

Вы можете выписаться, но можете этого не делать до появления нового места