Имеет ли право общественная организация присылать письмо в медучреждение с требованиями?

Да, обязаны рассмотреть указанное обращение в соответствии с Законом РФ от 2 мая 2006 года «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации», так как данный закон распростроняется в том числе и на юридических лиц, направивших обращения в государственные органы, органы местного управления и самоуправления и должностным лицам. Поэтому с учетом требований данного закона оставление обращения общественной организации без рассмотрения влечет административную ответственность.