Здравствуйте, Ирина!
Вы спрашиваете: "Как выписать себя и ребенка из квартиры, если проживаем в другом городе?"
Вы сами создали для себя и ребенка неразрешимую ситуацию. Снять себя и ребенка с регистрационного учета возможно двумя путями: 1) лично явиться с документами в миграционный отдел и снять с регистрации себя и ребенка; зарегистрироваться по месту нового жительства. Тогда без Вашего участия Вас и ребенка снимут с регистрации по прежнему месту жительства. Других способов нет. Сняться с регистрации по доверенности невозможно.
Есть выход такой: зарегистрироваться по новому месту жительства постоянно у каких-нибудь хороших знакомых. Тогда Вас снимут с регистрации с прежнего места жительства. Когда появится возможность для постоянной регистрации, Вы вновь зарегистрируетесь и Вас с прежнего места снимут с регистрации.