Как урегулировать проблему с долгами по квартире, в которой проживает только один из собственников?

Здравствуйте, Светлана! По поводу оплаты коммунальных платежей — ст. 30 и 31 ЖК РФ

3.Собственник жилого помещения несет бремя содержания данного помещения
и, если данное помещение является квартирой, общего имущества
собственников помещений в соответствующем многоквартирном доме, а
собственник комнаты в коммунальной квартире несет также бремя содержания
общего имущества собственников комнат в такой квартире, если иное не
предусмотрено федеральным законом или договором.
ЖК РФ, Статья 31. Права и обязанности граждан, проживающих совместно с собственником в принадлежащем ему жилом помещении
1.К членам семьи собственника жилого помещения относятся проживающие
совместно с данным собственником в принадлежащем ему жилом помещении его
супруг, а также дети и родители данного собственника. Другие
родственники, нетрудоспособные иждивенцы и в исключительных случаях иные
граждане могут быть признаны членами семьи собственника, если они вселены собственником в качестве членов своей семьи.
2.Члены семьи собственника жилого помещения имеют право пользования
данным жилым помещением наравне с его собственником, если иное не
установлено соглашением между собственником и членами его семьи. Члены
семьи собственника жилого помещения обязаны использовать данное жилое
помещение по назначению, обеспечивать его сохранность.
3.Дееспособные и ограниченные судом в дееспособности члены семьи
собственника жилого помещения несут солидарную с собственником
ответственность по обязательствам, вытекающим из пользования данным
жилым помещением, если иное не установлено соглашением между
собственником и членами его семьи.

А значит, если все долги оплатили Вы, то в судебном порядке можно взыскать их не только с других собственников, но и прописанных лиц.

Что касается продажи доли, то да Вы вправе продать эту долю с соблюдением преимущественного права покупки других собственников этой квартиры.