На кого подавать в суд для компенсации выплат по ОСАГО?

Здравствуйте,  подавать иск надо будет на виновника ДТП, взыскиваете с него ту сумму, которую не хватает после выплаты страховой для возмещения ущерба в полном объеме.

Это предусмотрено ст. 1072 ГК РФ: 

гражданин, застраховавший свою ответственность в порядке добровольного или обязательного страхования в пользу потерпевшего (статья 931, пункт 1 статьи 935), в случае, когда страховое возмещение недостаточно для того, чтобы полностью возместить причиненный вред, возмещают разницу между страховым возмещением и фактическим размером ущерба.

так что оставшуюся часть взыскиваете с виновника в судебном порядке.

Если вам надо будет составить исковое в суд, обращайтесь, договоримся, с Уважением.

Кроме того, есть ст 1082 ГК РФ

Удовлетворяя требование о возмещении вреда, суд в соответствии с обстоятельствами дела обязывает лицо, ответственное за причинение вреда, возместить вред в натуре (предоставить вещь того же рода и качества, исправить поврежденную вещь и т.п.) или возместить причиненные убытки (пункт 2 статьи 15).