Как можно отсрочить большую задолженность по квартплате?

Если УК обратится в суд в суд, в суде заявляйте ходатайство о снижении неустойки, на основании ст. 333 ГК РФ:

Если подлежащая уплате неустойка явно несоразмерна последствиям нарушения обязательства, суд вправе уменьшить неустойку.По вынесению судебного решения пишите заявление о рассрочке исполнения судебного акта, согласно ст. 203 ГПК РФ:

1. Суд, рассмотревший дело, по заявлениям лиц, участвующих в деле, судебного пристава-исполнителя либо исходя из имущественного положения сторон или других обстоятельств вправе отсрочить или рассрочить исполнение решения суда, изменить способ и порядок его исполнения.
2. Указанные в части первой настоящей статьи заявления рассматриваются в судебном заседании. Лица, участвующие в деле, извещаются о времени и месте судебного заседания, однако их неявка не является препятствием к рассмотрению и разрешению поставленного перед судом вопроса.

Прикладывайте документы, свидетельствующие о тяжелом материальном положении.