Как оспорить завещание, если бабушка была в невменяемом состоянии перед смертью?

Завещание можно оспорить в судебном порядке:

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть третья)» от 26.11.2001 N 146-ФЗ (ред. от 28.03.2017)
КонсультантПлюс: примечание.
К завещаниям, совершенным до введения в действие части третьей Гражданского кодекса РФ, применяются правила об основаниях недействительности завещания, действовавшие на день совершения завещания (Федеральный закон от 26.11.2001 N 147-ФЗ).
ГК РФ Статья 1131. Недействительность завещания
 
1. При нарушении положений настоящего Кодекса, влекущих за собой недействительность завещания, в зависимости от основания недействительности, завещание является недействительным в силу признания его таковым судом (оспоримое завещание) или независимо от такого признания (ничтожное завещание).
2. Завещание может быть признано судом недействительным по иску лица, права или законные интересы которого нарушены этим завещанием.
Оспаривание завещания до открытия наследства не допускается.
3. Не могут служить основанием недействительности завещания описки и другие незначительные нарушения порядка его составления, подписания или удостоверения, если судом установлено, что они не влияют на понимание волеизъявления завещателя.
4. Недействительным может быть как завещание в целом, так и отдельные содержащиеся в нем завещательные распоряжения. Недействительность отдельных распоряжений, содержащихся в завещании, не затрагивает остальной части завещания, если можно предположить, что она была бы включена в завещание и при отсутствии распоряжений, являющихся недействительными.
5. Недействительность завещания не лишает лиц, указанных в нем в качестве наследников или отказополучателей, права наследовать по закону или на основании другого, действительного, завещания.

Практически никаких. На момент оставления завещания бабушка, Вы сами так написали, была вменяема. Даже, если Ваш отец попытается оспорить завещание, нотариус подтвердит тот факт, что Ваша бабушка была вменяема, в ее действиях не усматривалось того факта, что она не понимала значение своих действий. Даже, если бы перед смертью Ваш отец успел ее отвезти к нотариусу, уже дедушка мог бы оспорить завещание, так как Вы сами пишите, что перед смертью она состояла в психдиспансере. Ваш отец может получить часть наследства только в том случае, если он имеет право на обязательную долю в наследстве:

Гражданский кодекс РФ Статья 1149
1. Несовершеннолетние или нетрудоспособные дети наследодателя, его нетрудоспособные супруги родители, а также нетрудоспособные иждивенцы наследодателя, подлежащие призванию к наследованию на основании пунктов 1 и 2 статьи 1148 настоящего Кодекса, наследуют независимо от содержания завещания не менее половины доли, которая причиталась бы каждому из них при наследовании по закону (обязательная доля).