Полагаю, что документы на выдачу разрешения на привлечение иностранных работников должен подписывать и подавать действующий в настоящее время генеральный директор, так как только он, согласно ст. 40 Федерального закона от 08.02.1998 N 14-ФЗ (ред. от 29.07.2017) «Об обществах с ограниченной ответственностью» имеет право без доверенности действовать от имени общества, в том числе представлять его интересы и совершать сделки.
Также возможен вариант подачи документов лицом, имеющим на это доверенность, выданную действующим генеральным директором.
Иностранный гражданин может быть назначен генеральным директором только после проведения внеочередного общего собрания участников ООО с одновременным прекращением полномочий действующего в настоящее время генерального директора.
В приведенном ниже документе указывается на то, что заявителем может быть работодатель. Работодателя постоянно представляет генеральный директор, и временно — лицо, действующее по выданной им доверенности.
Ранее необходима была подача заявки в службу занятости о потребности в привлечении иностранных работников на вакантные должности. Именно поэтому, видимо, и пытаются требовать, чтобы должность генерального директора была вакантной. Но Приказ ФМС России N 1, Минздравсоцразвития России N 4, Минтранса России N 1, Госкомрыболовства России N 2 от 11.01.2008 «Об утверждении Административного регламента предоставления Федеральной миграционной службой, органами исполнительной власти субъектов Российской Федерации, осуществляющими переданные полномочия Российской Федерации в области содействия занятости населения, Федеральным агентством морского и речного транспорта и Федеральным агентством по рыболовству государственной услуги по выдаче заключений о привлечении и об использовании иностранных работников, разрешений на привлечение и использование иностранных работников, а также разрешений на работу иностранным гражданам и лицам без гражданства» утратил силу.
Если же все-таки есть еще какой-то нормативный правовой акт (я не нашел), предусматривающий, что иностранные граждане привлекаются только на вакантные должности, тогда действительно целесообразно провести внеочередное собрание, где прекратить полномочия действующего генерального директора и назначить его исполняющим обязанности до избрания нового (иностранного гражданина).
В любом случае, Вы вправе обратиться в ФМС с соответствующим заявлением, которое сотрудники ФМС обязаны или удовлетворить, или дать мотивированный отказ.
Приказ Федеральной миграционной службы от 30 октября 2014 г. N 589 «Об утверждении Административного регламента предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по выдаче разрешений на привлечение и использование иностранных работников, а также разрешений на работу иностранным гражданам и лицам без гражданства»
2. Заявителями являются:
2.1. Работодатель, заказчик работ (услуг), в том числе судовладелец, привлекающий иностранных работников, прибывающих на территорию Российской Федерации в порядке, требующем оформления визы, а также членов семьи высококвалифицированных специалистов, прибывающих в Российскую Федерацию в порядке, требующем получения визы.
3. Документы, необходимые для предоставления государственной услуги заявителям, указанным в пунктах 2.1 — 2.6 Административного регламента имеет право также подать лицо, действующее от имени заявителя на основании доверенности, выданной в соответствии со статьей 185 Гражданского кодекса Российской Федерации.
Согласно процитированному выше регламенту запрос о выдаче заключения о привлечении и об использовании иностранных направляется сотрудниками ФМС в орган государственной службы занятости населения субъекта Российской Федерации.
Можно еще рассмотреть вариант с назначением иностранного гражданина управляющим согласно ст. 42 Федерального закона от 08.02.1998 N 14-ФЗ «Об обществах с ограниченной ответственностью». С ним заключается договор возмездного оказания услуг, а не трудовой договор. Соответственно, могут отпасть проблемы с получением разрешения на привлечение иностранных работников, так как лицо, оказывающее услуги по гражданско-правовому договору, не является работником организации. Минусы: может потребоваться регистрация иностранного гражданина как ИП, и, соответственно, получение разрешение на временное проживание или вида на жительство.