Может ли свекровь выселить меня с ребенком, если мы прописаны в ее квартире?

Добрый день, Наталия.
Данная квартира является муниципальной (предоставлена для проживания по договору социального найма) или находится в собственности? Если в собственности, то кто является собственником, свекровь или Ваш супруг (действующий или бывший)?
В любом случае для выселения Вас из квартиры она должна снять Вас с регистрационного учета, а для этого ей придется обращаться в суд. Судебные разбирательства о выселении всегда проходят с участием прокурора, а учитывая наличие несовершеннолетнего ребенка Вас следует привлечь на судебный процесс органы опеки и попечительства (орган, защищающий права и законные интересы несовершеннолетних).
Если жилье муниципальное, то принимая во внимание, что у Вас отсутствует иное жилье (в собственности или по праву пользования) суд с наибольшей долей вероятности откажет в удовлетворении требований свекрови о Вашем выселении.
Если же жилье находится в собственности свекрови, а Вы были прописаны как жена ее сына, но брак был расторгнут, то Вас могут снять с регистрационного учета согласно ч. 4 ст. 31 Жилищного кодекса РФ, поскольку бывшие члены семьи собственника не сохраняют право пользования жилым помещением. При этом с учетом положения указанной выше ч. 4 ст. 31 Жилищного кодекса РФ, если у Вас как бывшего члена семьи собственника отсутствует иное жилое помещение для проживания (в собственности или по праву пользования), а также Ваше имущественное положение не позволяет приобрести жилье, то Вы можете заявить встречное требование о сохранении права пользования данным жильем (квартирой свекрови) на определенный срок. 

Статья 31. Права и обязанности граждан, проживающих совместно с собственником в принадлежащем ему жилом помещении
4. В случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи. Если у бывшего члена семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение бывшего члена семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением, принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда. При этом суд вправе обязать собственника жилого помещения обеспечить иным жилым помещением бывшего супруга и других членов его семьи, в пользу которых собственник исполняет алиментные обязательства, по их требованию.