Могу ли я заключить новый контракт сроком на 1 год, если контракт заканчивается в июле 2018 года?

Здравствуйте, Роман! Можете, так как по ФЗ-53 Вы относитесь к категории военнослужащих, указанных в пп а) п. 5 ст. 38:

статья 38 п. 5. Новый контракт о прохождении военной службы заключается с:
 а) военнослужащим, являющимся гражданином, за исключением военнослужащего, указанного в подпункте «б» или «в» настоящего пункта, — на срок один год, три года, пять лет, десять лет или на неопределенный срок (до наступления предельного возраста пребывания на военной службе);
б) военнослужащим, являющимся гражданином и поступившим в:
военную образовательную организацию высшего образования для обучения по образовательной программе высшего образования или для подготовки диссертации на соискание ученой степени кандидата наук или доктора наук, — на период освоения указанной образовательной программы или на время подготовки и защиты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук или доктора наук и пять лет военной службы после получения высшего образования или защиты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук или доктора наук;
военную профессиональную образовательную организацию или военную образовательную организацию высшего образования для обучения по образовательной программе подготовки специалиста среднего звена, — на период освоения указанной образовательной программы и три года военной службы после получения среднего профессионального образования, а в случаях, установленных Положением о порядке прохождения военной службы, — на период освоения указанной образовательной программы и пять лет военной службы после получения среднего профессионального образования;
в) военнослужащим, являющимся гражданином и достигшим предельного возраста пребывания на военной службе, — на срок один год, три года, пять лет, десять лет или на меньший срок.