На чье имя будет приходить налог,если не оформлять свидетельство о праве на наследство?

Евгений, здравствуйте! До тех пор, пока в налоговую не поступят сведения о новом собственнике недвижимого имущества, а они не поступят до тех пор, пока сведения о новом собственнике не будут внесены в единый государственный реестр недвижимости, то есть пока Вы не зарегистрируете право собственности на основании свидетельства о праве на наследство в росреестре, налог будет приходить на имя наследодателя (собственника) доли квартиры. 

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть третья)» от 26.11.2001 N 146-ФЗ (ред. от 28.03.2017)

Статья 1114. Время открытия наследства

1. Временем открытия наследства является момент смерти гражданина. 

Статья 1113. Открытие наследства

Наследство открывается со смертью гражданина. 

Статья 1112. Наследство

В состав наследства входят принадлежавшие наследодателю на день открытия наследства вещи, иное имущество, в том числе имущественные права и обязанности.

Таким образом, независимо от того, когда Вы в итоге, получите свидетельство о праве на наследство и зарегистрируете право собственности, обязанность по оплате налога со дня смерти наследодателя ложится на наследника. То есть, после того как Вы оформите право собственности, данные об этом будут переданы в налоговую, и задолженность которая накопится за этот период может быть взыскана с Вас в судебном порядке. Поэтому, чтобы не допустить такого, не зависимо от того, что Вы не оформляете право собственности, Вы можете оплачивать сами квитанции, которые приходят на имя наследодателя. Это будет свидетельствовать о том, что Вы несете бремя содержания имущества принадлежащего ранее наследодателю.

С Уважением, Кононова В.В.