Как сделать в свидетельстве о рождении прочерк в графе "Отец"?

Вы можете сделать как хотите, но у отца ребенка все равно останется право на признание отцовства так как ребенок рожден все таки в браке в том числе через суд, когда он узнает о нарущении его права.

Федеральный закон от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ «Об актах гражданского состояния»
Статья 14. Основания для государственной регистрации рождения

1. Основанием для государственной регистрации рождения является:

документ установленной формы о рождении, выданный медицинской организацией независимо от ее организационно-правовой формы (далее — медицинская организация), в которой происходили роды;

документ установленной формы о рождении, выданный медицинской организацией, врач которой оказывал медицинскую помощь при родах или в которую обратилась мать после родов, либо индивидуальным предпринимателем, осуществляющим медицинскую деятельность, — при родах вне медицинской организации;

заявление лица, присутствовавшего во время родов, о рождении ребенка — при родах вне медицинской организации и без оказания медицинской помощи.

Пункт 2 изменен с 29 декабря 2017 г. - Федеральный закон от 29 декабря 2017 г. N 438-ФЗ

См. предыдущую редакцию

2. Лицо, присутствовавшее во время родов, может сделать заявление о рождении ребенка устно или в письменной форме работнику органа записи актов гражданского состояния или работнику многофункционального центра предоставления государственных и муниципальных услуг, производящим государственную регистрацию рождения.

При отсутствии у указанного лица возможности явиться в орган записи актов гражданского состояния или многофункциональный центр предоставления государственных и муниципальных услуг его подпись заявления о рождении ребенка данной женщиной должна быть удостоверена организацией, в которой указанное лицо работает или учится, жилищно-эксплуатационной организацией или органом местного самоуправления по месту его жительства либо администрацией стационарной медицинской организации, в которой указанное лицо находится на излечении.

Пункт 3 изменен с 29 декабря 2017 г. - Федеральный закон от 29 декабря 2017 г. N 438-ФЗ

См. предыдущую редакцию

3. Заявление, оформленное в порядке, установленном пунктом 2 настоящей статьи, может быть представлено в орган записи актовгражданского состояния или многофункциональный центр предоставления государственных и муниципальных услуг родителями (одним из родителей) ребенка или другим заявляющим о рождении ребенка лицом, а также может быть направлено в орган записи актов гражданского состояния или многофункциональный центр предоставления государственных и муниципальных услуг посредством почтовой связи, электрической связи или иным способом.

4. При отсутствии оснований для государственной регистрации рождения, предусмотренных пунктом 1 настоящей статьи, государственная регистрация рождения ребенка производится на основании решения суда об установлении факта рождения ребенка данной женщиной.

См. комментарии к статье 14 настоящего Федерального закона

Статья 15. Место государственной регистрации рождения

1. Государственная регистрация рождения производится органом записи актов гражданского состояния по месту рождения ребенка или по месту жительства родителей (одного из родителей) или многофункциональным центром предоставления государственных и муниципальных услуг, на который возложены полномочия в соответствии с пунктом 2.2 статьи 4 настоящего Федерального закона.

2. В записи акта о рождении указывается фактическое место рождения ребенка или наименование места, в котором ребенок был найден (наименование государства, субъекта Российской Федерации (административно-территориального образования иностранного государства); наименование городского, сельского поселения или другого муниципального образования).

Если родители (один из родителей) проживают в сельском поселении, по их желанию вместо фактического места рождения ребенка может быть указано место жительства родителей (одного из родителей).