Может ли страховая компания взыскать стоимость лечения после ДТП с водителя?

Александр, здравствуйте!

Нет, просроченная диагностическая карта никак не повлияет на ситуацию.

Срок договора (полиса ОСАГО) не истек, значит у страховщика есть обязательства о выплате страхового возмещения, соответственно, страхователь обладает правом получения такого возмещения. 

Статья 14. Право регрессного требования страховщика к лицу, причинившему вред

(в ред. Федерального закона от 21.07.2014 N 223-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

 
1. К страховщику, осуществившему страховое возмещение, переходит право требования потерпевшего к лицу, причинившему вред, в размере осуществленного потерпевшему страхового возмещения, если:
(в ред. Федерального закона от 28.03.2017 N 49-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

на момент наступления страхового случая истек срок действия диагностической карты, содержащей сведения о соответствии транспортного средства обязательным требованиям безопасности транспортных средств, легкового такси, автобуса или грузового автомобиля, предназначенного и оборудованного для перевозок пассажиров, с числом мест для сидения более чем восемь (кроме места для водителя), специализированного транспортного средства, предназначенного и оборудованного для перевозок опасных грузов;