Какие предусмотрены выплаты при подписании второго контракта?

Да, военной

На основании

Федеральный закон от 07.11.2011 N 306-ФЗ (ред. от 29.12.2017) «О денежном довольствии военнослужащих и предоставлении им отдельных выплат»Статья 3. Отдельные выплаты военнослужащим
 

1. Военнослужащим, направляемым в служебные командировки, производятся выплаты на командировочные расходы в порядке и размерах, которые определяются Правительством Российской Федерации.
2. Военнослужащим, проходящим военную службу по контракту, в том числе поступившим на военную службу по контракту из запаса, при переезде на новое место (к месту) военной службы в другой населенный пункт, в том числе на территорию или с территории иностранного государства, в связи с назначением на воинскую должность, поступлением на военную службу по контракту, зачислением в военную профессиональную образовательную организацию или военную образовательную организацию высшего образования, срок обучения в которой превышает один год, или в связи с передислокацией воинской части производятся следующие выплаты:
(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1) подъемное пособие — в размере одного оклада денежного содержания на военнослужащего и одной четвертой оклада денежного содержания на каждого члена семьи, переехавшего на новое место (к месту) военной службы военнослужащего или в близлежащий от указанного места населенный пункт либо в другие населенные пункты (из-за отсутствия жилого помещения);
2) суточные на военнослужащего и каждого члена его семьи, переезжающих в связи с переводом военнослужащего на новое место военной службы, за каждый день нахождения в пути — в размере, установленном Правительством Российской Федерации для военнослужащих, направляемых в служебные командировки.
2.1. Военнослужащим, проходящим военную службу по контракту в Вооруженных Силах Российской Федерации, других войсках, воинских формированиях и органах, в том числе военнослужащим органов военной прокуратуры и военных следственных органов Следственного комитета Российской Федерации, может оказываться единовременная материальная помощь в случаях, размерах и порядке, которые определяются руководителем федерального органа исполнительной власти, в котором федеральным законом предусмотрена военная служба, в отношении военнослужащих, проходящих военную службу по контракту соответственно в Вооруженных Силах Российской Федерации, других войсках, воинских формированиях и органах (за исключением военнослужащих органов военной прокуратуры и военных следственных органов Следственного комитета Российской Федерации), Генеральным прокурором Российской Федерации в отношении военнослужащих органов военной прокуратуры, Председателем Следственного комитета Российской Федерации в отношении военнослужащих военных следственных органов Следственного комитета Российской Федерации.

Никаких других выплат при заключении контракта не положено.