Сработает ли в моем случае выезд-въезд, если я гражданин Украины?

Здравствуйте, Богдан!

Не совсем понятно из Вашего вопроса, почему Вы хотите сделать выезд-въезд… Что Вам мешает продлить патент оплатив фиксированный платеж и на этом основании продлить регистрацию. Вот цитата из ФЗ-115

8. Работодатель или заказчик работ (услуг), привлекающие и использующие для осуществления трудовой деятельности иностранного гражданина, обязаны уведомлять территориальный орган федерального органа исполнительной власти в сфере миграции в субъекте Российской Федерации, на территории которого данный иностранный гражданин осуществляет трудовую деятельность, о заключении и прекращении (расторжении) с данным иностранным гражданином трудового договора или гражданско-правового договора на выполнение работ (оказание услуг) в срок, не превышающий трех рабочих дней с даты заключения или прекращения (расторжения) соответствующего договора.

и еще одна цитата, для случая, если Вы будете работать не у физлица, а в ИП или ООО, адвокатский кабинет.

7. В течение двух месяцев со дня выдачи патента иностранный гражданин, осуществляющий трудовую деятельность у лиц,
указанных в абзаце первом пункта 1 настоящей статьи, обязан представить лично либо направить заказным почтовым отправлением с уведомлением о вручении в территориальный орган федерального органа исполнительной власти в сфере миграции, выдавший
патент, копию трудового договора или гражданско-правового договора на
выполнение работ (оказание услуг).

вот абзац первого пункта 1

1. Работодатели или заказчики работ (услуг), являющиеся

юридическими лицами или индивидуальными предпринимателями либо частными нотариусами, адвокатами, учредившими адвокатский кабинет, или иными лицами, чья профессиональная деятельность в соответствии с федеральными законами подлежит государственной регистрации и (или) лицензированию, имеют право привлекать к трудовой деятельности законно находящихся на территории Российской Федерации иностранных граждан, прибывших в Российскую Федерацию в порядке, не требующем
получения визы, и достигших возраста восемнадцати лет, при наличии у каждого такого иностранного гражданина патента, выданного в соответствии с настоящим Федеральным законом. 

Остались вопросы напишите, желаю Вам удачи!