Может ли в данном случае бабушка отдать документы?

По территории России для сопровождения несовершеннолетнего не требуется оформления нотариально заверенного согласия родителей. Поэтому бабушка может перемещаться вместе с внуком.

Федеральный закон «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» от 15.08.1996 N 114-ФЗ

Статья 20

Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить.

Может, если у бабушки есть доверенность на представление интересов матери по вопросам несовершеннолетнего ребенка, или она является официальным опекуном

Елена, здравствуйте!

Может, при наличии доверенности от законного представителя ребёнка.

Согласно положениям ст. 64 СК РФ родители являются законными представителями своих детей и выступают в защиту их прав и интересов в отношениях с любыми физическими и юридическими лицами, в том числе в судах, без специальных полномочий. Родители являются законными представителями детей до наступления их совершеннолетия — то есть, по достижении детьми восемнадцатилетнего возраста (ст. 21 ГК РФ).

До достижения детьми совершеннолетия родители совершают все сделки, кроме мелких бытовых, от имени малолетних детей (в возрасте до 14 лет), а в отношении детей от 14 до 18 лет родители дают согласие на совершение сделок своих детей (однако стипендией, заработком несовершеннолетние вправе распоряжаться самостоятельно).

В случаях, когда дети остаются без попечения родителей (лишение родительских прав, смерть родителей), орган опеки и попечительства назначает опекуна или попечителя.

Опекун назначается малолетнему ребенку в возрасте до 14 лет.

Попечитель назначается несовершеннолетнему ребенку в возрасте от 14 до 18 лет.

Опекуны и попечители являются законными представителями несовершеннолетних и осуществляют от их имени и в их интересах все юридически значимые действия, которые вправе были бы совершать родители.

Елена, если у вас остались вопросы, задавайте, с радостью отвечу. Также вы можете написать мне в чате и заказать персональную консультацию или подготовку документа по вашему вопросу. Всего доброго!