Здравствуйте, Екатерина. Что значит вопрос — какая часть? Право собственности делится на троих. Следовательно, третья часть. На что можете претендовать при мене — зависит от условий мены. Вы в договоре участвовать будете, проследите, чтобы в новой квартире на вас также приходилась доля не менее той, что есть сейчас.
Не поняла, если вы имели в виду, что бабушка против продажи или мены квартиры, мену вы совершить не сможете. Разве что вашу долю в праве на долю в праве в другой квартире. Но сомневаюсь, что такая сделка возможна практически. А продать свою долю вы можете, предварительно предложив выкупить ее бабушке.
Если квартира была приватизирована в общую совместную (не долевую) собственность, сначала вам необходимо выделить свою долю. Также желательно определить порядок пользования квартирой, потом уже совершать продажу. Если квартира однокомнатная или двухкомнатная, но комнаты — проходные, вряд ли вы найдете желающих купить вашу долю в праве.
Если бабушка не против продать квартиру, вы можете получить 1/3 часть денег от стоимости сделки.