С кем останутся дети при разводе, если родители безработные и не имеют общего имущества?

Алла. Правильно ли я понимаю, что Вы все проживаете на территории России, а не Украины. Если всё таки на Украине — Вм лучше обратиться к украинским юристам для более компетентного ответа. 

Если на территории РФ — подавайте заявление о запрете на выезд детей. И, делайте это как можно скорее. 

Федеральный закон «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» от 15.08.1996 N 114-ФЗ

Статья 21. В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.

По поводу счетов — если деньги на счете появились в период брака — это совместно нажитое имущество, пока не доказано иное. Так что в плане материального положения у Вас с супругом шансы одинаковые. Тем более, что позиция верховного суда заключается в том, чтобы исключительно в крайних случаях отрывать ребенка от воспитания и проживания с матерью. 

Плюс ко всему — у него нет гражданства РФ, у Вас есть. Это существенный плюс. В конечном же счете может получиться так, что он нарушит закон и будет депортирован и вообще его правовой статус на территории РФ весьма шаткий, чтобы оставлять ему детей. Но! Помните о том, что он может установить в суде порядок общения с детьми и препятствовать ему Вы не сможете 

Алла, добрый вечер!

Согласно абз. 2 п. 3 ст. 65 СК РФ

При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд учитывает привязанность ребенка к каждому из родителей, братьям и сестрам, возраст ребенка, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (род деятельности, режим работы родителей, материальное и семейное положение родителей и другое).

В большинстве случаев дети при разводе остаются с матерью, а, учитывая тот факт, что Ваши дети наверняка граждане России, то вероятность того, что суд оставит их с Вами, почти стопроцентная.