Можем ли мы заключить контракт позже сроков начала оказания услуг?

Здравствуйте, Анастасия!

Такие нюансы законом прямо не урегулированы, но предполагается, что исполнение контракта должно происходить после заключения контракта. 

Согласно п.20 Согласно п.9 «Обзор судебной практики применения законодательства Российской Федерации о контрактной системе в сфере закупок товаров, работ, услуг для обеспечения государственных и муниципальных нужд» (утв. Президиумом Верховного Суда РФ 28.06.2017)  По общему правилу поставка товаров, выполнение работ или
оказание услуг в целях удовлетворения государственных или
муниципальных нуждв отсутствие государственного или
муниципального контракта не порождает у исполнителя право
требовать оплаты соответствующего предоставления.

То есть, если выполнили часть работ до заключения контракта, то эта часть работ может быть не оплачена заказчиком и скорее всего суд поддержит заказчика.

В вашем случае возможно конечно попробовать указать в договоре или отдельно доп соглашением указать, что правоотношения по контракту распространяются на правоотношения возникшие до заключения контракта с начала выполнения работ (или с начала определенной даты). Однако, это также не особо надежная схема.

Менять срок работ по доп соглашению, вы также не можете.

Согласно п.9 «Обзор судебной практики применения законодательства Российской Федерации о контрактной системе в сфере закупок товаров, работ, услуг для обеспечения государственных и муниципальных нужд» (утв. Президиумом Верховного Суда РФ 28.06.2017) Стороны не вправе дополнительным соглашением изменять сроки выполнения работ по государственному (муниципальному) контракту, если иное не установлено законом и заключенным в соответствии с ним контрактом. 

Здесь только заключать контракт и рассчитывать на то, что работы полностью будут оплачены.

Желаю удачи!