Возможно ли возвращение военнослужащего по призыву домой воздушным транспортом?

Конечно могут. 

Ему необходимо обратиться рапортом к командованию части. 

Основание: Приказ МО РФ от 27 декабря 2017 г. N 815:

4. Военнослужащие, проходящие военную службу по призыву, курсанты военных профессиональных образовательных организаций и военных образовательных организаций высшего образования до заключения с ними контракта о прохождении военной службы:
железнодорожным транспортом — в плацкартных вагонах или вагонах с местами для сидения стандартной компоновки поездов любой категории (класс обслуживания «3»), вагонах 3 класса скорых поездов пригородного сообщения с указанием места, вагонах экономического класса поездов аэроэкспресс;
морским транспортом — в каютах IV категории судов транспортных линий;
внутренним водным транспортом — на местах категории 3-A судов транспортных маршрутов;
воздушным транспортом — в салонах экономического класса;
автомобильным транспортом — в транспортных средствах категорий M2 и M3 классов B и III.