Могут ли отказать в регистрации автомобиля в ГИБДД по ДКП при отсутствии свободного места в ПТС?

ЗДравствуйте, нет, просто выдадут Дубликат ПТС.

Паспорта, выдаваемые таможенными органами и имеющие закрепленные за ними учетные серии, не могут выдаваться подразделениями Госавтоинспекции, организациями и предпринимателями.
Копии паспортов, выполненные любым способом, в том числе фотокопии или светокопии, не могут служить заменой подлинников паспортов.
10. Дубликаты утраченных или пришедших в негодность паспортов выдаются собственникам и владельцам транспортных средств и (или) шасси:
организациями и предпринимателями — на шасси и ранее не зарегистрированные транспортные средства, изготовленные ими после 1 июля 1993 года;
таможенными органами — на шасси и ранее не зарегистрированные транспортные средства, ввезенные в Российскую Федерацию после 1 июля 1997 года, а на транспортные средства и шасси с электродвигателем — после 7 августа 2008 года;
(в ред. Приказа МВД России N 828, Минпромторга России N 1227, ФТС России N 1744 от 30.08.2012)

(см. текст в предыдущей редакции)

подразделениями Госавтоинспекции — на транспортные средства во всех остальных случаях.
В выдаваемом паспорте в разделе «Особые отметки» производится запись «Дубликат. Выдан взамен ПТС (ПШТС)» и указываются серия, номер и дата выдачи оригинала паспорта и последующих выданных дубликатов, если ранее производилась замена паспорта. При замене паспорта, в котором таможенными или налоговыми органами, организациями и (или) предпринимателями, отнесенными в порядке, утвержденном Министерством промышленности и торговли Российской Федерации <1>, к крупнейшим производителям <2>, а также иными организациями и (или) предпринимателями проставлены отметки об уплате утилизационного сбора или о ранее принятых ими обязательствах обеспечить последующее безопасное обращение с отходами, образовавшимися в результате утраты произведенными ими транспортными средствами своих потребительских свойств, в дубликат паспорта вносится аналогичная отметка (запись).