Как поменять фамилию и отчество ребенка?

Дело в том, что отчество ребёнку даётся по имени его отца и изменить произвольно его нельзя. А вот оспорить отцовство, если Вы являетесь биологическим отцом ребёнка, Вы можете в судебном порядке на основании ст. 52 СК РФ:

Запись родителей в книге записей рождений, произведенная в соответствии с пунктами 1 и 2 статьи 51 настоящего Кодекса, может быть оспорена только в судебном порядке по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным.

То есть, нужно обратиться в суд с исковым заявлением об оспаривании отцовства и внесении изменений в актовую запись о рождении ребёнка, изменив запись об отце, а также фамилию и отчество. 

Все требования Вы можете заявить в одном иске, поэтапно это делать не нужно.  Иск подаётся по месту жительства ответчика. 

Если отцом является бывший муж, в браке с которым был рожден ребенок, то изменить фамилию ребенку без учета его мнения невозможно, поскольку он как законный отец имеет родительские права:

СК РФ Статья 59. Изменение имени и фамилии ребенка
 1. По совместной просьбе родителей до достижения ребенком возраста четырнадцати лет орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить имя ребенку, а также изменить присвоенную ему фамилию на фамилию другого родителя.

2. Если родители проживают раздельно и родитель, с которым проживает ребенок, желает присвоить ему свою фамилию, орган опеки и попечительства разрешает этот вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом мнения другого родителя. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его места нахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.

Исключением, как указано выше, будет его заключение в местах лишения свободы, лишения родительских прав, признание недееспособным, а так же уклонения от воспитания и содержания ребенка.

Об изменении и установлении

Если же он не является отцом, а отцом являетесь вы, то прежде вам нужно оспаривать его отцовство и устанавливать свое, а только после этого менять ребенку фамилию и отчество

Для оспаривания отцовства вам необходимо подавать соответствующий иск в суд:

СК РФ Статья 52. Оспаривание отцовства (материнства)
 

1. Запись родителей в книге записей рождений, произведенная в соответствии с пунктами 1 и 2 статьи 51 настоящего Кодекса, может быть оспорена только в судебном порядке по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным.