Может ли собственник половины квартиры требовать от наследника второй половины деньги за ремонт?

Здравствуйте, Надежда.

1) ГК РФ Статья 218. Основания приобретения права собственности:

п.2. Право собственности на имущество, которое имеет собственника, может быть приобретено другим лицом на основании договора купли-продажи, мены, дарения или иной сделки об отчуждении этого имущества.
В случае смерти гражданина право собственности на принадлежавшее ему имущество переходит по наследству к другим лицам в соответствии с завещанием или законом.
 
По логике вещей, Ваше право собственности, основанное на наследовании, находится в той же плоскости, что и, к примеру, дарение. Имеется ввиду, что Вы приобретаете  вещь, готовую, оформленную, имеющую сложившуюся форму.
О каком возмещении ремонта может идти речь?
Если бы Вы унаследовали половину кирпичного дома, только что отстроенного, на средства Вашего родственника и умершего. Вы должны будете оплатить расходы родственнику, потратившему на постройку, в размере половины  его стоимости?? Нет.
Ремонт, сделанный до Вас – это воля второго собственника, а не Ваша.
2) Вы имеете право на доход, полученный от сдачи этой комнаты. Если до истечения Договора найма сменились собственники помещения, то это никак не должно отражаться на арендаторах. А требовать можете с сособственника.
3) если Вы будете получать доход от сдачи в аренду помещения, то и налог придется платить.
 Примечание к п.2 и 3: если все оформлено документально.