Могу ли я поступить в военное училище после окончания института?

Здравствуйте, Николай! Вам надо было во время обучения поступить, например, так: по статье 20 ФЗ-53 (если позволял возраст):

1. Гражданин до достижения им возраста 30 лет, обучающийся по очной форме обучения в федеральной государственной образовательной организации высшего образования, годный к военной службе или годный к военной службе с незначительными ограничениями по состоянию здоровья, отвечающий профессионально-психологическим требованиям, предъявляемым к конкретным военно-учетным специальностям,и прошедший в Министерстве обороны Российской Федерации конкурсный отбор, вправе заключить с Министерством обороны Российской Федерации договор об обучении на военной кафедре при федеральной государственной образовательной организации высшего образования по программе военной подготовки офицеров запаса, программе военной подготовки сержантов, старшин запаса либо программе военной подготовки солдат, матросов запаса.

Или (статья 20.1):

1. Гражданин до достижения им возраста 24 лет, обучающийся по очной форме обучения в федеральной государственной образовательной организации высшего образования, годный к военной службе по состоянию здоровья и отвечающий установленным настоящим Федеральным законом требованиям к гражданам, поступающим на военную службу по контракту, вправе заключить с Министерством обороны Российской Федерации договор об обучении по программе военной подготовки в учебном военном центре при этой образовательной организации и о дальнейшем прохождении военной службы по контракту после получения высшего образования. Гражданину, обучающемуся по программе военной подготовки в учебном военном центре при федеральной государственной образовательной организации высшего образования, выплачиваются за счет средств федерального бюджета дополнительная стипендия, дифференцированная в зависимости от уровня его успеваемости по указанной программе, а также другие выплаты в порядке и размере, определяемых Правительством Российской Федерации.

Или по статье 20.2.:

1. Гражданин до достижения им возраста 30 лет, обучающийся по очной форме обучения в федеральной государственной образовательной организации высшего образования, при которой отсутствует военная кафедра, годный к военной службе или годный к военной службе с незначительными ограничениями по состоянию здоровья, отвечающий профессионально-психологическим требованиям, предъявляемым к конкретным военно-учетным специальностям, и прошедший в Министерстве обороны Российской Федерации конкурсный отбор, вправе заключить с Министерством обороны Российской Федерации договор об обучении в военной образовательной организации высшего образования по программе военной подготовки сержантов, старшин запаса либо программе военной подготовки солдат, матросов запаса.

А так — Вы получили образование и второе высшее  получить бесплатно не получится ( в военных образовательных организациях обучение бесплатное):

ФЗ «Об образовании» статья 5:

3. В Российской Федерации гарантируются общедоступность и бесплатность в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами дошкольного, начального общего, основного общего и среднего общего образования, среднего профессионального образования, а также на конкурсной основе бесплатность высшего образования, если образование данного уровня гражданин получает впервые.

Поэтому поступить в военный институт не получится. Но можно идти служить по контракту и там уже решать вопрос о присвоении воинского звания, например, мичмана, а если будет родственная Вашей военная специальность, то в перспективе, можно и офицерское звание получить.