Добрый день, Елена!
Пунктом 4 ст. 60 СК РФ установлено, что
ребенок не имеет права собственности на имущество родителей, родители не имеют права собственности на имущество ребенка.
Таким образом, в настоящее время, Ваш сын не имеет права на долю в данной квартире, только путем наследования, если установлено отцовство.
Однако, исходя из установленной семейным законодательством обязанности родителя по содержанию своего ребенка, норм п. п. 12, 28 Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утвержденных Постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 N 713, определяющих, что регистрация несовершеннолетних детей осуществляется по месту жительства родителей и если Ваш сын не имеет другого жилого помещения для проживания, представляется, что ребенку принадлежит право пользования жилым помещением, которое при необходимости может быть подтверждено в судебном порядке.