Как подать в суд на бывшего работодателя?

Дополнительно, обратите внимание, что в соответствии со ст. 208 ГК РФ: 

Статья 208. Требования, на которые исковая давность не распространяется
требования о возмещении вреда, причиненного жизни или здоровью гражданина. Однако требования, предъявленные по истечении трех лет с момента возникновения права на возмещение такого вреда, удовлетворяются за прошлое время не более чем за три года, предшествовавшие предъявлению иска, за исключением случаев, предусмотренных Федеральным законом от 6 марта 2006 года N 35-ФЗ «О противодействии терроризму»;

То есть, Вы можете предъявить требование о возмещение вреда за период с 2016г. (если подадите иск сейчас).  Требуемую сумму  необходимо будет подтвердить суду соответствующим расчетом. 

После травмы компания выплатила мне компенсацию по соглашению

Выплата компенсации по соглашению никаким образом не ограничивает Вашего права требовать положенной компенсации сверх того. что Вам выплатили, если работодателем фактически расследование несчастного случая не производилось. а также не оформлялся трудовой договор, так как если бы все было зафиксировано согласно действующему законодательству. Вы имели бы полное право на получение пособия по временной нетрудоспособности, страховых выплат: единовременной страховой выплаты и ежемесячной страховой выплаты, оплаты дополнительных расходов на медицинскую, социальную и профессиональную реабилитацию, выше я привел в первом ответе ссылку на разъяснения ФСС, там все подробно расписано на этот счет.

Если ситуация в Вашем случае именно такая, что работодатель путем заключения соглашения о выплате компенсации надеялся решить вопрос с неоформлением несчастного случая как этого требует закон, то в таком случае речь идет о сокрытии несчастного случая.

Статья 15. 34 КоАП РФ:

Сокрытие страхователем наступления страхового случая при обязательном социальном страховании от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний — влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от трехсот до пятисот рублей, на должностных лиц в размере от пятисот до одной тысячи рублей, на юридических лиц в размере от пяти тысяч до десяти тысяч рублей.

можно ли подать в суд с требованием компенсации?

Предварительно попытайтесь решить вопрос полюбовно с работодателем, т.е. предложите ему заключение повторного соглашения с выплатой компенсации но уже в большем размере.

Поясните свою позицию о том, что в случае отказа Вы будете намерены обратиться в трудовую инспекцию с заявлением о проведении проверки по факту сокрытия им несчастного случая, также напомните об административной ответственности и своем праве на обращение в суд помимо проверки трудовой инспекции, с требованиями о взыскании вреда причиненного здоровью, а также компенсации морального вреда.

Внеплановая проверка трудовой инспекции, осуществляется в рамках Приказа Минздравсоцразвития РФ

от 21 сентября 2011 года N 1065н

Об утверждении Административного регламента исполнения Федеральной службой по труду и занятости государственной функции по осуществлению федерального государственного надзора за соблюдением установленного порядка расследования и учета несчастных случаев на производстве

Административный регламент исполнения Федеральной службой по труду и занятости государственной функции по осуществлению федерального государственного надзора за соблюдением установленного порядка расследования и учета несчастных случаев на производстве

Административная процедура организации и проведения внеплановых проверок соблюдения работодателями установленного порядка расследования и учета несчастных случаев на производстве

59. Основанием для проведения внеплановой проверки является:

поступление в Роструд или его территориальный орган заявлений, обращений и иных документов, содержащих сведения о фактах:

причинения вреда жизни и здоровью граждан при осуществлении трудовой (профессиональной) деятельности, обстоятельства которых не были расследованы в установленном порядке

http://docs.cntd.ru/document/9...

Статья 237 Трудового кодекса Рф:

Моральный вред, причиненный работнику неправомерными действиями или бездействием работодателя, возмещается работнику в денежной форме в размерах, определяемых соглашением сторон трудового договора.

В случае возникновения спора факт причинения работнику морального вреда и размеры его возмещения определяются судом независимо от подлежащего возмещению имущественного ущерба.

Т.е. в случае отказа работодателя выплатить новую компенсацию обратитесь для начала в трудовую инспекцию. результаты ее проверки могут быть доказательствами для дальнейшего обращения в суд с соответствующими требованиями к работодателю. т.е. обращаться в суд без наличия доказательств произошедшего смысла нет, необходима подготовка.

Если же несчастный случай на производстве все же был оформлен так как этого требует закон, что я указал в своих ответах выше, при этом  Вам выплачивались все выплаты по социальному страхованию в связи с несчастным случаем на производстве, то в этом случае с его стороны нарушений нет, но Вы в любом случае имеете право предъявить уже гражданский иск о возмещении вреда, т.е. вне социального страхования и трудовых правоотношений, если считаете, что в полной мере Вам причиненный вред так и не был возмещен.

Статья 1064 Гражданского кодекса РФ:

1. Вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.