Могу ли я во время с/з попросить суд провести экспертизу ДНК на установление отцовства?

Добрый вечер, экспертизу днк на установление отцовства вы можете провести только в рамках гражданского дела об оспаривании отцовства, то есть Вам необходимо обратиться в суд в качестве истца с исковым заявлением.  

СК РФ Статья 52. Оспаривание отцовства (материнства)
1. Запись родителей в книге записей рождений, произведенная в соответствии с пунктами 1 и 2 статьи 51 настоящего Кодекса, может быть оспорена только в судебном порядке по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным.
2. Требование лица, записанного отцом ребенка на основании пункта 2 статьи 51 настоящего Кодекса, об оспаривании отцовства не может быть удовлетворено, если в момент записи этому лицу было известно, что оно фактически не является отцом ребенка.

Гражданские дела об оспаривании отцовства, подсудные районному суду.
Но Вы можете подать встречное исковое заявление об оспаривании отцовства в рамках рассмотрения заявления о взыскании алиментов. Возможно 2 варианта исхода событий: Мировой судья должен будет соединить иск об оспаривании отцовства и заявление о взыскании алиментов в одно дело, и передать их на рассмотрении в районный суд.
Мировой судья откажет в принятии встречного иска, в этом случае Вам нужно будет обратиться с исковым заявлением в районный суд по месту проживания матери. После принятия иска судом к производству, необходимо будет обратиться к  мировому судье, который рассматривает дело о взыскании алиментов и заявить ходатайство о приостановлении рассмотрения дела о взыскании алиментов, до того момента, пока районный суд не вынесет решение по делу об оспаривании отцовства.