Как при жизни бабушки решить вопрос с документами, обезопасив свои права на наследство?

После смерти Вашей бабушки Вы будете наследовать с дядей, другим сыном бабушки, наравне, так как Вы будете являться наследником первой очереди в связи со смертью Вашего отца и Вы будете наследовать по праву представления, как внук.

Поэтому, Ваш дядя вводит Вас в заблуждение. Тот факт, что он забрал все документы не будет играть роли, так как после смерти бабушки он их понесет к нотариусу для вступления в наследство. Откроется наследственное дело. Вам  нужно будет только пойти к нотариусу и написать свое заявление о вступлении в наследство, которое будет в том же наследственном деле, которое откроется по заявлению Вашего дяди.

ГК РФ Статья 1142. Наследники первой очереди
 

1. Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя.
2. Внуки наследодателя и их потомки наследуют по праву представления.

ГК РФ Статья 1146. Наследование по праву представления

http://www.consultant.ru/docum...

Здравствуйте, Михаил! Вы, действительно, являетесь наследником первой очереди по праву представления и наследуете долю своего умершего отца на основании ст. 1142 ГК РФ:

Наследниками первой очереди являются дети. родители, супруги. Внуки наследуют по праву представления.

Если бабушка не завещает имущество другому лицу и не распорядится им при жизни, Вы — наследник первой очереди.

То, что дядя забрал документы, неважно. Он, так или иначе, их предоставит при вступлении в наследство. Вам нужно будет подать заявление нотариусу о вступлении в наследство.

И может ли он сейчас без моего разрешения отправить бабулю в психбольницу или взять над ней опеку и распоряжаться ее деньгами?

Для этого нужны основания, просто так в психбольницу отправить нельзя. Но Вашего согласия здесь спрашивать не будут, дядя является её близким родственником — сыном. При  этом даже признание бабушки недееспособной не даст ему право распоряжаться её имуществом.