Может ли биологический отец ребенка забрать ребенка у матери?

Нет, не может. Сначала обратитесь в суд с иском об установлении отцовства

СК РФ Статья 49. Установление отцовства в судебном порядке
 

В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.

 получите свидетельство о рождении ребенка, где вы будете указаны отцом, а затем обращайтесь в суд с иском об определении места жительства ребенка с отцом.