Как быть, если подали на обжалование в данном случае?

Здравствуйте, Максим.

При назначении экспертизы суд выносит определение, в котором указывается срок проведения экспертизы.

ГПК РФ Статья 216. Право суда приостановить производство по делу
Суд может по заявлению лиц, участвующих в деле, или по своей инициативе приостановить производство по делу в случае:
нахождения стороны в лечебном учреждении;
розыска ответчика и (или) ребенка;
назначения судом экспертизы;
назначения органом опеки и попечительства обследования условий жизни усыновителей по делу об усыновлении (удочерении) и другим делам, затрагивающим права и законные интересы детей;
направления судом судебного поручения в соответствии со статьей 62 настоящего Кодекса;
реорганизации юридического лица, являющегося стороной в деле или третьим лицом с самостоятельными требованиями.

Срок рассмотрения дела приостанавливается на срок проведения экспертизы.

Ознакомьтесь с определением о назначении экспертизы, проверьте сроки.

Если срок проведения экспертизы нарушен — подавайте в суд ходатайство о возобновлении производства по делу. 

ГПК РФ Статья 219. Возобновление производства по делу
 Производство по делу возобновляется после устранения обстоятельств, вызвавших его приостановление, на основании заявления лиц, участвующих в деле, или по инициативе суда. При возобновлении производства суд извещает об этом лиц, участвующих в деле.